试题要求：
设数列 {an} 满足条件：
,
S(x) 是幂级数 
的和函数。
(I)证明：
;
(II)求 S(x) 的表达式。（本题满分10分）
试题来源：2013年考研《数学一》真题及答案解析
试题解析：
答案：
(I)
得 
,
再由 
, 有
,
即 。
(II)二阶常系数齐次线性微分方程 的特征方程为 
, 解得
, 于是 的通解为
,
显然，初值条件为
, 进而有
,
解得：
, 所以
。
解析：
本题利用幂级数可逐项求导的性质，验证(I)成立；解微分方程求出S(x),注意初值条件的使用。
考点：齐次微分方程,幂级数的和函数