试题要求：
设 
为同阶方阵。
(I) 如果 相似，试证 的特征多项式相等；
(II) 举一个二阶方阵的例子说明 (I) 的逆命题不成立；
(III) 当 均为实对称矩阵时，试证(I)的逆命题成立。（本题满分8分）
试题来源：2002年考研《数学一》真题及答案解析
试题解析：
答案：
(I) 
相似即存在可逆矩阵 
，使得 
,故
(II)
满足 
，
由于 
，故 不相似。
(III) 由 均为实对称矩阵得 均相似于对角阵。
若 的特征多项式相等，则记特征多项式的根为 
，则存在可逆矩阵 
使得
于是 
，由于 
为可逆矩阵，得 相似。
解析：
本题主要考查了矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵、实对称矩阵的特征值、特征向量及其相似对角矩阵这两方面的知识点。
考点：矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵,实对称矩阵的特征值、特征向量及其相似对角矩阵