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试题要求:

设 3 阶实对称矩阵  的特征值为  且  是  的属于 λ1 的一个特征向量,记 , 其中  为 3 阶单位矩阵

(I) 验证  是矩阵  的特征向量,并求  的所有特征值和特征向量;

(II) 求矩阵 

试题解析:
答案:

(I) 由  知 , 那么 

所以  是矩阵属于  的特征值  的特征向量,

同理,, 有 ,

因此,矩阵  的特征值为 

由矩阵  是对称矩阵,知矩阵  也是对称矩阵,设矩阵  关于特征值 , 的特征向量是 , 那么因为实对称矩阵特征值不同的特征向量相互正交,有:

所以矩阵  关于特征值 , 的特征向量是 , 因此,矩阵  属于特征值  的特征向量是 , 其中 k1 是不为 0 的任意常数。

矩阵  属于特征值  的特征向量是 , 其中  是不全为 0 的任意常数。

(II) 由 , 有 ,

所以 =

解析:

本题主要考查矩阵特征值与特征向量的相关问题,计算的时候需要认真仔细。

考点:实对称矩阵的特征值、特征向量及其相似对角矩阵,矩阵的特征值和特征向量的概念、性质