设矩阵  的特征根有一个二重根，求 a 的值，并讨论  是否可相似对角化。（本题满分9分）

矩阵  的特征多项式为

，

(I)若 λ=2 是方程的二重根，则有 ，解得 a=-2。

当 a=-2 时，矩阵  的特征值为2,2,6，矩阵

 的秩为1，故线性方程组  的基础解系包含两个分量，即 λ=2 对应的线性无关的特征向量有两个，于是矩阵  有三个线性无关的特征向量，即矩阵  可相似对角化。

(II)若 λ=2 不是方程的二重根，则  为完全平方式，所以 ，解得 。

当  时，矩阵  的特征值为2,4,4，矩阵

，

其秩为2，故线性方程组  的基础解系包含一个分量，所以，矩阵  不可相似对角化。