设a0=1,a1=0, (n=1,2,…) S(x)为幂级数的和函数，(1)证明幂级数的收敛半径不小于1(2)证明(1-x)S′(x)-xS(x)=0 (x∈(-1,1)) ,并求S(x)的表达式

试题要求：

设a₀=1,a₁=0, (n=1,2,…) S(x)为幂级数的和函数，

(1)证明幂级数的收敛半径不小于1

(2)证明(1-x)S′(x)-xS(x)=0 (x∈(-1,1)) ,并求S(x)的表达式

试题来源：2017年考研《数学三》真题及答案解析

试题解析：

答案：

（1）略（2）.

解析：

（1）由，两边同时减去a_n可知进而a_n+1 - a_n = 从而有则，所以，幂级数的收敛半径不小于1.

（2）由逐项求导定理可知故(1-x)S′(x)=+a₁

xS(x)= 则 (1-x)S′(x)-xS(x)=+a₁

由可知 (n+1)a_n+1-na_n-a_n+1=0 又由于a₁=0，故(1-x)S′(x)-xS(x)=0 解此微分方程可得 . 又由于S(0)=a₀=1 ，可知c=1 ，从而.

考点：幂级数的和函数

相似试题