试题要求:
设三阶实对称矩阵 的各行元素之和均为3,向量 α1=(-1,2,-1)T,α2=(0,-1,1)T 是线性方程组 的两个解。
(I) 求 的特征值与特征向量;
(II) 求正交矩阵 和对角矩阵 ,使得 ;
(III) 求 及 ,其中 为三阶单位矩阵。(本题满分13分)
试题来源:2006年考研《数学三》真题及答案解析
试题解析:
答案:
(I) 因为矩阵 的各行元素之和均为3, 即有 ,所以3是矩阵 的特征值,α1=(1,1,1)T 是 属于3的特征向量。
又 ,故α1,α2 是矩阵 属于 λ=0 的两个线性无关的特征向量。因此矩阵 的特征值是 3,0,0。
的特征向量为 k(1,1,1)T,其中 k≠0 为常数;
λ=0 的特征向量为 k1(-1,2,-1)T+k2(0,-1,1)T,其中 k1,k2 是不全为 0 的常数。
(II) 因为 α1,α2 不正交,故需要施密特正交化,
β1=α1=(-1,2,-1)T;
,
单位化 ,
那么令
得
(III) 由前面知,,有 即
又
所以 。
解析:
本题主要考查了矩阵的特征值和特征向量的概念、性质等。
考点:矩阵的特征值和特征向量的概念、性质
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