试题要求:
设 3 阶实对称矩阵 的特征值为 且 是 的属于 λ1 的一个特征向量,记 , 其中 为 3 阶单位矩阵
(I) 验证 是矩阵 的特征向量,并求 的所有特征值和特征向量;
(II) 求矩阵 。
试题来源:2007年考研《数学三》真题及答案解析
试题解析:
答案:
(I) 由 知 , 那么
所以 是矩阵属于 的特征值 的特征向量,
同理,, 有 ,
因此,矩阵 的特征值为 。
由矩阵 是对称矩阵,知矩阵 也是对称矩阵,设矩阵 关于特征值 的特征向量是 , 那么因为实对称矩阵特征值不同的特征向量相互正交,有:
所以矩阵 关于特征值 的特征向量是 , 因此,矩阵 属于特征值 的特征向量是 , 其中 是不为 0 的任意常数。
矩阵 属于特征值 的特征向量是 , 其中 是不全为 0 的任意常数。
(II) 由 , 有 ,
所以
=
解析:
本题主要考查矩阵特征值与特征向量的相关问题,计算的时候需要认真仔细。
考点:实对称矩阵的特征值和特征向量及相似对角矩阵,矩阵的特征值和特征向量的概念、性质