试题要求：
设矩阵
为3阶矩阵，α1,α2为的分别属于特征值-1,1的特征向量，向量α3满足
。
(I)证明α1,α2,α3线性无关；
(II)令
，求
。
（本题满分11分）
试题来源：2008年考研《数学三》真题及答案解析
试题解析：
答案：
(I)设存在常数 k1,k2,k3，使得
。
矩阵两边左端同时乘 ,并且 
，得到：
，
从而 
。
因为 α1,α2 是 的分别属于不同特征值的特征向量，
所以 α1,α2 线性无关，所以 k1=k3=0 。
带入得到 k2=0，所以 α1,α2,α3 线性无关 。
(II)由 ，从而
由(I)知 
可逆，所以
。
解析：
本题主要考查了向量组线性相关与线性无关的判断及矩阵特征值与特征向量的相关知识，具有一定综合性。
考点：向量组的线性相关与线性无关,矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵,矩阵的特征值和特征向量的概念、性质