试题要求：
设向量组 α1=(1,0,1)T,α2=(0,1,1)T,α3=(1,3,5)T 不能由向量组β1=(1,1,1)T,β2=(1,2,3)T,β3=(3,4,a)T 线性表示。
(I)求 a 的值；
(II)将 β1,β2,β3, 用 α1,α2,α3 线性表示。（本题满分11分）
试题来源：2011年考研《数学三》真题及答案解析
试题解析：
答案：
(I)由于
，故 α1,α2,α3 线性无关，因此 α1,α2,α3 不能由 β1,β2,β3, 线性表达出 
β1,β2,β3 线性相关，即
113
解得 a=5
(II)将 β1,β2,β3 用 α1,α2,α3 线性表示，即3个非齐次线性方程组：
有解
由于3个线性方程组的系数矩阵是相同的，所以令
，并对 
作初等行变换：
→
由此可得
β1=2α1+4α2-α3,β2=α1+2α2,β3=5α1+10α2-2α3
解析：
本题主要考查了向量组的线性表示。
考点：向量的线性组合与线性表示