试题要求：
设 α1=(1,2,0)T,
,
,β=(1,3,-3)T，试讨论当 a,b 为何值时，
(I) β 不能由 α1,α2,α3 线性表示；
(II) β 可由 α1,α2,α3 唯一线性表示，并求表达式；
(III) β 可由 α1,α2,α3 线性表示，但是表达式不唯一，并求出表达式。（本题满分13分）
试题来源：2004年考研《数学三》真题及答案解析
试题解析：
答案：
假设存在常数 k1,k2,k3，使得
。
记 
，对矩阵 
作处等行变换，得
。
(I)当 a=0 时，有
，
于是 
，故原方程组无解，即 β 不能由 α1,α2,α3 线性表示；
(II)当 a≠0 且 a≠b 时，
，则原方程组有唯一解，得
，
故可由 α1,α2,α3 唯一线性表示，其表达式为
。
(III)当 a=b≠0 时，有 
，可得原方程组的全部解为
，k 为任意常数。
此时，β 可由 α1,α2,α3 线性表示，但是表达式不唯一，其表达式为
，k 为任意常数。
解析：
本题主要考查了向量组的线性表示。
考点：向量的线性组合与线性表示