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试题要求:

设矩阵相似与矩阵

(I)求a,b的值;

(II)求可逆矩阵,使为对角矩阵。(本题满分11分)

试题解析:
答案:

(I)由于相似与矩阵,所以,于是

3+a=2+b,2a-3=b

得到:a=4,b=5

(II)由(I)可知,

由于相似与矩阵,所以

的特征值为λ12=1,λ3=5

当λ12=1时,解方程组,得线性无关特征向量

当λ3=5 时解线性方程,得特征向量

,则

解析:

本题主要考查矩阵的相似变换、相似矩阵的概念和性质、特征向量、特征值的求法以及矩阵相似对角化的方法。

考点:矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵,相似变换、相似矩阵的概念和性质