试题要求:
设矩阵相似与矩阵,
(I)求a,b的值;
(II)求可逆矩阵,使为对角矩阵。(本题满分11分)
试题来源:2015年考研《数学一》真题及答案解析
试题解析:
答案:
(I)由于相似与矩阵,所以,,于是
3+a=2+b,2a-3=b
得到:a=4,b=5
(II)由(I)可知,,
由于相似与矩阵,所以
故的特征值为λ1=λ2=1,λ3=5
当λ1=λ2=1时,解方程组,得线性无关特征向量
,;
当λ3=5 时解线性方程,得特征向量
令,则
解析:
本题主要考查矩阵的相似变换、相似矩阵的概念和性质、特征向量、特征值的求法以及矩阵相似对角化的方法。
考点:矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵,相似变换、相似矩阵的概念和性质