试题要求:
证明方程 恰有两个实根。(本题满分10分)
试题来源:2011年考研《数学三》真题及答案解析
试题解析:
答案:
令 ,本题即为证明 f(x) 恰有两个零点。
,
令 f′(x)=0,得 ,则
当 时,f′(x)<0,f(x) 单调减少;
当 时,f′(x)>0,f(x) 单调增加;
当 时,f′(x)<0,f(x) 单调减少;
又
则 为 f(x) 的一个零点,在 内 f(x) 还有一个零点,故 恰有两个实根。
解析:
本题主要考查了零点定理。
考点:微分中值定理
相似试题
- 设函数 f(x),g(x) 在 [a, b] 上连续,在 (a, b) 内具有二阶导数,且存在相等的最大值,, 证明:(I)存在,使得;(II)存在 , 使得 。
- (I)证明拉格朗日中值定理:若函数 f(x) 在 [a, b] 上连续,在 (a, b) 内可导,则存在 ,使得 。(II)证明:若函数 f(x) 在 x = 0 处连续,在 内可导,且 ,则 存
- f(x)设函数在[0,3]上连续,在(0,3)内存在二阶导数,且。(I)证明存在η∈(0,2),使得f(η)=f(0);(II)证明存在,,使得。(本题满分10分)
- 设函数 f(x) 在 [0,+∞) 上可导,f(0)=0, 且 , 证明:(I) 存在 a>0, 使得 f(a)=1;(II) 对(I)中的 a, 存在 , 使得 。(本题满分10分)
- 设函数f(x)在[0,1]上二阶可导,且则