设函数 f(x),g(x) 在 [a, b] 上连续，在 (a, b) 内具有二阶导数，且存在相等的最大值，, 证明：(I)存在，使得；(II)存在 , 使得 。

【方法一】

令 , 则 ,

则证明命题:存在，使得；即等价于证明命题存在，使得。

(I)令，则

 设 f(x),g(x) 在 (a, b) 内的最大值为 M, 且分别在  时取到，即 ,

 若 , 取到 , 即 ; 

若 , 则

此时，由连续函数介值定理知在  之间至少存在点 , 使

综上所述，存在 , 使得 存在，使得。

(II) 由罗尔定理知，存在 , 使得 ,

再由罗尔定理知，存在 , 使得 , 即 。

【方法二】

(I)用反证法证明存在 , 使得 

假设不存在 , 使得  则由 F(x) 的连续性知对于一切  恒大于零或恒小于零。

设 F(x), 设 g(x) 在 x₀∈(a,b) 处取到最大值，则 , 即 , 从而可知 f(x) 在  上的最大值比 g(x) 在  上的最大值要大，与题设矛盾，所以假设命题不成立。

故存在 ,使得 存在，使得。

(II)由罗尔定理知，存在 , 使得 ,

再由罗尔定理知，存在 , 使得 , 即 。