f(x)设函数在[0,3]上连续，在(0,3)内存在二阶导数，且。(I)证明存在η∈(0,2)，使得f(η)=f(0)；(II)证明存在,，使得。（本题满分10分）

试题要求：

f(x)设函数在[0,3]上连续，在(0,3)内存在二阶导数，且。

(I)证明存在η∈(0,2)，使得f(η)=f(0)；

(II)证明存在,，使得。

（本题满分10分）

试题解析：

答案：

(I)设，则，F(0)=0

由拉格朗日中值定理，存在η∈(0,2)，使得：

F(2)-F(0)=2F′(η)=2f(η)=2f(0)

所以存在η∈(0,2)，使得f(η)=f(0)

(II)易知介于f(x)在[2,3]上的最小值和最大值之间。

根据连续函数的介值定理，存在，使

由题意有：=f(0)

故

由(I)知：，且

根据罗尔中值定理，存在

使

从而存在，使得

解析：

本题主要考查了罗尔定理和拉格朗日定理以及函数介值定理的综合应用，有一定难度。

考点：微分中值定理

相似试题