设函数 f(x) 在 [0,+∞) 上可导，f(0)=0, 且 , 证明：(I) 存在 a>0, 使得 f(a)=1;(II) 对(I)中的 a, 存在 , 使得 。（本题满分10分）

(I) 因为 , 所以存在 x₀ > 0, 使得 f(x₀) > 1, 

因为 f(x) 在 [0,+∞] 上可导，所以 f(x) 在 [0,+∞] 上连续

又 f(0)=0, 在闭区间 [0,x₀] 上，根据连续函数的介值定理，

存在 a∈(0,x₀), 使得 f(a)=1。

(II) 【方法一】因为 f(x) 在 [0,a] 上可导，根据拉格朗日中

值定理，存在 , 使得 

又f(0)=0,f(a)=1

所以存在 , 使得。

【方法二】令辅助函数 , 显然该辅助函数

在区间 (0,a) 内连续，在 (0,a) 内可导，且 F(0)=F(a)=0,

由罗尔中值定理知，至少存在一点，使得 ,

 即 。