设二次型 ，其中二次型的矩阵  的特征值之和为 1 ，特征值之积为-12。(I)求 a,b 的值；(II)利用正交变换将二次型化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵。（本题满分13分）

(I)二次型 f 的矩阵为：

设  的特征值为 ，由题意得:

λ₁ + λ₂ + λ₃ = a + 2 - 2 = 1，

从而 a = 1,b = -2。

(II)矩阵  的特征多项式为

从而  得特征值 λ₁=λ₂=2,λ₃=-3，

当λ₁=λ₂=2 时，解其齐次线性方程组  得其基础解系

，

当 λ₃ = -3 时，解其齐次线性方程组  得其基础解系

，

归一化后，得到 ，(0,1,0)^T，，

令 ，则  为正交矩阵，在正交变换  下有

二次型的标准型为：。