试题要求：
已知
，二次型f(x1,x2,x3)=
的秩为2。
(I)求实数a的值；
(II)求正交变换
将f化为标准形。（本题满分11）
试题来源：2012年考研《数学三》真题及答案解析
试题解析：
答案：
(I)【方法一】因为
，故可对 
做行初等变换：
，
所以a = -1。
【方法二】
。
由于
，且
有一个2阶子式
，故
从而得a = -1。
(II) 由(I)a = -1得
，
故矩阵 的特征多项式为
，
的特征值为λ1=2,λ2=6,λ1=0。
当λ1=2时，解方程组
得相应的特征向量
，单位化后为
；
当λ2=6 时，解方程组
，
得相应的特征向量
，单位化后
；
当λ3=0 时，解方程组
得到相应的特征向量
，单位化后为
。
于是得到正交矩阵
在正交变换 x=Qy下，二次型的标准型为
。
解析：
本题主要考查了矩阵的特征值和特征向量的概念、性质以及用正交变换和配方法化二次型为标准形。
考点：二次型的标准形和规范形,用正交变换和配方法化二次型为标准形,矩阵的特征值和特征向量的概念、性质