试题要求:
已知实二次型f(x1,x2,x3)=(x1 - x2 + x3)2+(x2+x3)2+(x1+ax3)2,其中a是参数
(1)求f(x1,x2,x3)=0的解
(2)求f(x1,x2,x3)的规范型
试题来源:2018年考研《数学三》真题及答案解析
试题解析:
答案:
(1)a≠2时,
a = 2时,
(2)a≠2时,
a = 2时,
解析:
(1)由f(x1,x2,x3)=(x1 - x2 + x3)2+(x2+x3)2+(x1+ax3)2=0,可得:
.记,.则有Ax=0
由→可知当a = 2时,方程组有非零解,其中k为任意常数.当a≠2时,方程组只有零解.
(2)当a≠2时,对应的规范形为
a = 2时,
令,得规范形为
考点:二次型的标准形和规范形