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试题要求:

已知实二次型f(x1,x2,x3)=(x1 - x2 + x3)2+(x2+x3)2+(x1+ax3)2,其中a是参数

(1)求f(x1,x2,x3)=0的解

(2)求f(x1,x2,x3)的规范型

试题解析:
答案:

(1)a≠2时,

   a = 2时,

(2)a≠2时,

   a = 2时,

解析:

(1)由f(x1,x2,x3)=(x1 - x2 + x3)2+(x2+x3)2+(x1+ax3)2=0,可得:

.记,.则有Ax=0

可知当a = 2时,方程组有非零解,其中k为任意常数.当a≠2时,方程组只有零解.

(2)当a≠2时,对应的规范形为

a = 2时,

,得规范形为

考点:二次型的标准形和规范形