设随机变量 X 与 Y 的概率分布分别为且 P{X2=Y2}=1(I)求二维随机变量 (X,Y) 的概率分布；(II)求 Z=XY 的概率分布；(III)求 X 与 Y 的相互关系。（本题满分11分

试题要求：

设随机变量 X 与 Y 的概率分布分别为

且 P{X²=Y²}=1

(I)求二维随机变量 (X,Y) 的概率分布；

(II)求 Z=XY 的概率分布；

(III)求 X 与 Y 的相互关系。（本题满分11分）

试题解析：

答案：

(I)由 P{X²=Y²}=1 得 P{X²≠Y²}=0，

而P{X²≠Y²}=P{X=0,Y=-1}+P{X=0,Y=1}+P{X=1,Y=0}

即P{X=0,Y=-1}=P{X=0,Y=1}=P{X=1,Y=0}=0

再利用 X,Y 的边缘概率分布即得 (X,Y) 的概率分布为

(II) Z=XY 的可能取值为-1,0,1。由 (X,Y) 的概率分布可得 Z=XY 的概率分布为

(III)由 X,Y 及 Z 的概率分布计算可得

Cov(X,Y)=E(XY)-EXEY=0，所以=0

解析：

本题主要考查了随机变量的概率分布。

考点：二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布,随机变量的数学期望（均值）、方差、标准差及其性质

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