设函数 f(x) 具有二阶导数，g(x)=f(0)(1-x)-f(1)x，则在区间 [0,1] 上（  ）。

本题主要考查了函数图形的凹凸性概念和求解方法以及函数单调性的判别。本题提供三种解法，如下。

【方法一】由于f(0)=g(0),f(1)=g(1)，则直线 y=f(0)(1-x)-f(1)x 过点 (0,f(0)) 和 (1,f(1))，

当 f′′(x)≥0 时，曲线 y=f(x) 在区间 [0,1] 上式凹的。

曲线 y=f(x) 应位于过两个端点 (0,f(0)) 和 (1,f(1)) 的弦 y=f(0)(1-x)-f(1)x 的下方，即 f(x)≤g(x) 。

综上所述，本题正确答案是 D 。

【方法二】F(x)=f(x)-g(x)=f(x)-f(0)(1-x)-f(1)x，易得

 F(0)=F(1)=0 ，F′(x)=f′(x)+f(0)-f(1)，F′′(x)=f′′(x)，

故当f′′(x)≥0 时，F′′(x)≥0。曲线F(x)在区间[0,1]上是凹的，

即 F(x) 在端点 x=0,x=1 处取得最大值。

又因为 F(0)=F(1)=0，所以 F(x)=f(x)-g(x)≤0，即 f(x)≤g(x) 。

【方法三】

令F(x)=f(x)-g(x)=f(x)-f(0)(1-x)-f(1)x

则F(x)=f(x)[(1-x)+x]-f(0)(1-x)-f(1)x

            =(1-x)[f(x)-f(0)]-x[f(1)-f(x)]

当f′′(x)≥0时，f′(x)单调增，，从而，当x∈[0,1]时，F(x)≤0，即f(x)≤g(x)。

综上所述，本题正确答案是D。