试题要求：
设 
为3阶实对称矩阵， 的秩为2，且
(I)求 的所有特征值与特征向量。
(II)求矩阵 。（本题满分11分）
试题来源：2011年考研《数学三》真题及答案解析
试题解析：
答案：
(I) 因 
知 
所以 λ=0 是 的一个特征值。
又 
， 
，
所以λ=1是 的一个特征值，α1=(1,0,1)T 是 属于 λ=1 的特征向量 ；
λ=-1也是 的一个特征值，α2=(1,0,-1)T 是 属于 λ=-1 的特征向量。
设 α3=[x1,x2,x3]T 是 属于特征值 λ=0 的特征向量，
由于实对称矩阵特征向量不同特征向量相互正交，
因此
解出 α3=(0,1,0)T
综上所述，矩阵 的特征值为1，-1,0；
特征向量依次为 k1(1,0,1)T,k2(1,0,-1)T,k3(0,1,0)T,其中k1,k2,k3 均是不为0的任意常数。
(II) 由 
有
= 
=
解析：
本题主要考查了是实对称矩阵的特征值和特征向量。
考点：实对称矩阵的特征值和特征向量及相似对角矩阵