试题要求：
设
，正交矩阵
使得
为对角矩阵，若的第1列为
，求
。（本题满分11分）
试题来源：2010年考研《数学三》真题及答案解析
试题解析：
答案：
由于的第1列为，
所以
是矩阵
的一个特征向量
设对应的特征值为λ1，于是有：
得到：
解得：a=-1,λ1=2，所以
其特征多项式为
故的特征值为2,5,-4
当
时，解其次方程组
得到：
当λ=-4时，解其次方程组
得到：
将
单位化，得到：
解析：
本题主要考查了实对称矩阵相似对角化的方法。
考点：实对称矩阵的特征值和特征向量及相似对角矩阵