试题要求：
设
为三阶实对称矩阵，且满足条件
，已知的秩
。
(I)求的全部特征值；
(II)当 k 为何值时，矩阵
为正定矩阵，其中
为三阶单位矩阵。（本题满分8分）
试题来源：2002年考研《数学三》真题及答案解析
试题解析：
答案：
(I)设 λ 为的一个特征值，对应的特征向量为 α ，
则
，
。
于是
。
由条件
推知
又由于
，故有λ2 + 2λ = 0，
解得λ = -2或λ=0。
因为实对称矩阵必可对角化，且
，所以
，
因此，矩阵的全部特征值为
。
(II)矩阵仍为实对称矩阵。
由(I)知，的全部特征值为-2 + k, -2 + k, k。
于是，当k > 2时矩阵的特征值全部大于零。
此时，矩阵为正定矩阵。
解析：
本题主要考查了实对称矩阵的特征值和特征向量以及二次型及其矩阵的正定性。
考点：实对称矩阵的特征值和特征向量及相似对角矩阵,二次型及其矩阵的正定性
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