试题要求:
证明:。(本题满分10分)
试题来源:2012年考研《数学一》真题及答案解析
试题解析:
答案:
【方法一】:记,则
,
。
当-1
所以f′′(x)≥2≥0,从而f'(x)单调增加。
又因为,所以当-1 当0 < x < 1时,f′(x)>0。 故f(0)是f(x)在区间(-1,1)中的最小值。 因为f(0)=0,所以f(x)≥0(-1 【方法二】:利用带有拉格朗日型余项的麦克劳林公式,得 ,0<θ1<1, ,0 < θ2 < 1, ,0<θ3<1, 所以 。 因为,所以1<θ1x<1(i=1,2,3),从而 , 所以。 【方法三】:记,则f(x)为偶函数。 当0≤x<1时, 因为f(0)=0,所以f(x)≥0(0≤x 因为f(x)为偶函数,所以f(x)≥0(-1 。
解析:
本题主要考查了高等数学中一元函数微分学中函数的最大值与最小值的求解问题。通常将此类证明不等式问题转化为求一次函数的最大值或最小值问题。
考点:函数的最大值与最小值