试题要求：
设 n 元线性方程组 
，其中
，
。
(I)证明行列式 
；
(II)当 a 为何值时，该方程组有唯一解，并求 x1；
(III)当 a 为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解。（本题满分12分）
试题来源：2008年考研《数学三》真题及答案解析
试题解析：
答案：
(I) 数学归纳法:
记 n 阶行列式 
的值为 Dn=(n+1)an，
当 n = 1 时，D1 = 2a，命题 Dn=(n+1)an 正确；
当 n = 2 时，
，命题正确；
设 n< k 时，命题 Dn=(n+1)an 正确；
当 n = k 时，按第一列展开，则有：
命题正确，所以 。
(II) 由克拉默法则，
方程组有唯一解，故 a≠0 时方程组有唯一解，且用克拉默法则，有：
(III) 当 a=0 时，方程组为
由 
，方程组有无穷多解，其通解为:
(0,1,0,…,0)T+k(1,0,0,…,0)T，其中 k 为任意常数 。
解析：
本题主要考查抽象型行列式的计算以及线性方程组的求解。
考点：线性方程组的克拉默法则,行列式的概念和基本性质,非齐次线性方程组的通解