试题要求：
设总体 X 的分布函数为
其中 θ 是未知参数且大于零，
为来自总体 X 的简单随机样本。
(I) 求 EX 与
；
(II) 求 θ 的最大似然估计值 
；
(III) 是否存在实数a，使得对于任何 
，都有 
。（本题满分11分）
试题来源：2014年考研《数学一》真题及答案解析
试题解析：
答案：
(I) 总体 X 的概率密度为 
(II) 设 
为样本观测值，似然函数为
当 
时， 
，
当 
，得
θ 的最大似然估计值 
。
(III) 存在
。因为 
是独立同分布的随机变量序列，且
，所以根据辛钦大数定律，当n → ∞ 时， 依概率收敛于 
，即 θ。所以对任何 都有：
解析：
本题主要考查了最大似然估计法和辛钦大数定律。
考点：最大似然估计法,辛钦大数定律
相似试题
- 设总体 X 的概率密度为其中参数 λ(λ>0) 未知，X1,X2,...,Xn 是来自总体 X 的简单随机样本。(I)求参数 λ 的矩估计量；(II)求参数 λ 的最大似然估计量。（本题满分11
- 设 为来自正态总体 的简单随机样本，其 已知, 未知， 和 S2 分别表示样本均值和样本方差。(I)求参数 σ2 的最大似然估计 ；(II)计算 和 。（本题满分11分）
- 设随机变量X与Y相互独立且分别服从正态分布，其中σ是未知参数且。记。(I)求Z的概率密度；(II)设为来自总体Z的简单随机样本，求σ2的最大似然估计量；(III)证明为σ2的无偏估计量。（本题满分11
- 设总体 X 的概率密度为 其中 θ 为未知参数且大于零， 为来自总体 X 的简单随机样本(I)求 θ 的矩估计量；(II)求 θ 的最大似然估计量。（本题满分11分）
- 设总体X的概率密度为其中为θ未知参数，X1,X1,…,Xn 为来自该总体的简单随机样本。(I)求θ的矩估计量；(II)求θ的最大似然估计量。(本题满分11分)