试题要求：
设向量组
为
的一个基，
，
，
。
(I)证明向量组β1,β2,β3为的一个基；
(II)当k为何值时，存在非零向量 
在基
与基β1,β2,β3下的坐标相同，并求所有的。
（本题满分11分）
试题来源：2015年考研《数学一》真题及答案解析
试题解析：
答案：
(I)由于
其中
且
，所以β1,β2,β3为的一个基。
(II)设 在基与基β1,β2,β3下的坐标向量为x,则：
所以
对
作初等行变换
所以当
时，方程组有非零解，且所有非零解为:
，c为任意常数。
故在两个基下坐标相同的所有非零向量为:
，c为任意常数。
解析：
本题主要考查向量空间中坐标变换的方法。
考点：向量空间及其相关概念