设奇函数 f(x) 在 [-1,1] 上具有2阶导数，且 f(1)=1, 证明：(I)存在 , 使得 ;(II)存在 , 使得 。（本题满分10分）

(I)因为 f(x) 是区间 [-1,1] 上的奇函数，所以 f(0)=0,

因为函数 f(x) 在区间 [0,1] 上可导，根据拉格朗日中值定理，存在 , 使得,

又因为 f(1)=1, 所以 。

(II)【方法一】因为 f(x) 是奇函数，所以 f′(x) 是偶函数，故 ,令 ，则 F(x) 可导，

且 ,

根据罗尔定理，存在 , 使得 ,

由 , 且 , 

得 。

【方法二】因为 f(x) 是 [-1,1] 上的奇函数，所以 f′(x) 是偶函数，

令 , 则 F(x) 在 [-1,1] 上可导，且

由罗尔定理可知，存在 , 使得 ,

由 , 知：

, 即 。