设二次型 f(x1,x2,x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2, 记,,(I)证明二次型 f 对应的矩阵为 2ααT + ββT;(II)若 α,β 正交且

(I) 记 , 则

故 f(x₁,x₂,x₃)=2(a₁x₁+a₂x₂+a₃x₃)²+(b₁x₁+b₂x₂+b₃x₃)²

又因 2αα^T + ββ^T 是对称矩阵，所以二次型 f 对应的矩阵为 2αα^T + ββ^T

(II) 因 α,β 均是单位向量且相互正交，有

,

,

λ₁=2,λ₂=1是  的特征值，

又因为 αα^T,ββ^T 都是秩为1的矩阵，所以

,

故  是矩阵  的特征值，

因此经正交变换二次型 f 的标准型为 。