试题要求：
设随机变量 X 的概率密度为 
F(x) 是 X 的分布函数，求随机变量 Y=F(X) 的分布函数。（本题满分13分）
试题来源：2003年考研《数学三》真题及答案解析
试题解析：
答案：
【方法一】
当 x < 0 时，F(x) = 0；
当 x ≥ 8 时，有 F(x) = 1；
当 1≤x≤8 时，有
，
设 G(y) 是随机变量 Y=F(X) 的分布函数，
则当 y<0 时，G(y) = 0；
当 y ≥ 1 时，G(y)=1；
当 0≤y<1 时，
所以
。
【方法二】
当 x < 1 时，F(x) = 0；
当 x≥8 时，F(x) = 1；
当 1≤x≤8 时，有
，
设 G(y) 是随机变量 Y=F(X) 的分布函数，
F(x) 在 [1,8] 上严格单调递增，且 F(1)=0,F(8)=1。
设 h(y)=F-1(y)=(y+1)3，根据：
所以当 y<0 时，G(y) = 0；当 y ≥ 1 时，G(y)=1。
当 0≤y<1 时，
，
所以 
解析：
本题主要考查了随机变量函数的分布。
考点：随机变量分布函数的概念及其性质,随机变量函数的分布