试题要求：
(I)证明拉格朗日中值定理：若函数 f(x) 在 [a, b] 上连续，在 (a, b) 内可导，则存在 
，使得 
。
(II)证明：若函数 f(x) 在 x = 0 处连续，在 
内可导，且 
，则 
存在，且 
。（本题满分11分）
试题来源：2009年考研《数学一》真题及答案解析
试题解析：
答案：
(I)令 
，根据题意可知函数 F(x) 在 [a, b] 上连续，在 (a, b) 内可导。
又因为
且由罗尔中值定理可知，存在 ，使得 
，即
，
即得证
；
(II)由拉格朗日中值定理，可知
。
又因为 ，所以 
，故 存在，且 。
解析：
本题主要考查了基本定理的证明。
考点：微分中值定理
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