设线性方程组                                                        (1)与方程                               

【方法一】

方程组有公共解，即为将两个方程组联立的解

对联立方程组的增广矩阵进行初等行变换，有

已知方程组有解，所以应有 

a=1 时，, 此时，公共解为：, 其中 k 为任意常数。

a = 2 时，, 此时，有唯一的公共解为：。

【方法二】

先求方程组 (1) 的解，其系数行列式为 , 当  时，方程组 (1) 只有零解，但此时  不是方程 (2) 的解，所以公共解发生在 a=1 或 a = 2 时，

当 a=1 时，对方程组 (1) 的系数矩阵进行初等行变换 

方程组 (1) 的通解为 , 其中 k 为任意常数。

此解也满足方程组（2），所以此时方程组（1）与（2）的公共解为，其中k为任意常数。

当 a = 2 时，同样求方程组 (1) 的通解

方程组 (1) 的通解为 , 其中 k 为任意常数。

将其代入方程组 (2) 中得：, 得, 因此此方程组 (1) 和 (2) 的公共解为 。