(I)证明：对任意的正整数n,都有  成立；(II)设 证明数列 {an} 收敛。（本题满分10分）

(I)【方法一】令 

对任意正整数 n ，根据拉格朗

日中值定理，得

其中 ，

所以 

【方法二】令 ，

则 ，

则当 x>0时，F(x) 单调增加。

又因为 F(0)=0，

所以 ，从而 ，

即 

再令 ，

则 ，

即 单调增加。

又 ，所以，

从而 ，

即 

综上可知，有

【方法三】令 ，

可知 

又 ，

即  单调减少，

所以，

故 ，即

再令 ，

可知 

又 ，

即 单调减少，

所以 ，

故 ,

即 

综上可知，有

【方法四】因为 ，

且 

所以 

(II)【方法一】

由 (I)知，当  时

，

，

故数列 {a_n} 单调减少且有下界，所以 {a_n} 收敛。

【方法二】因为 ，

且 ，

又 ，

级数  收敛，所以数列 {a_n} 收敛。