设 y=y(x) 是区间  内过  的光滑曲线，当  时，曲线上任一点处的法线都过原点；当  时，函数满足 ，求函数 y(x) 的表达式。（本题满分12分）

由题意知，当  时，，即 ，可得 ，由初始条件 ，得 ，所以 ；

当  时，。其中齐次方程  的通解为

，

令  的特解为 ，代入则有 ，得 ，故 ，所以  的通解为 ，

由于 y=y(x) 是区间  内的光滑曲线，故 y 在 x = 0 处连续，于是有

，故 时；y在x = 0处连续，

又因为当  时，有 ，得 ,

当  时， 得 ，由  ,得 ；

故 y=y(x) 的表达式为