试题要求：
设总体 X 的概率密度为
其中 θ 是未知参数 (0<θ<1)，X1,X2,...,Xn 为来自总体 X 的简单随机样本，记 N 为样本值 x1,x2,...,xn 中小于1的个数，求：
(I) θ 的矩估计；
(II) θ 的最大似然估计。（本题满分13分）
试题来源：2006年考研《数学三》真题及答案解析
试题解析：
答案：
未知参数仅一个 θ , 所以矩估计的关键在于找出总体的矩 E(X) ，似然估计的关键在于写出似然函数。
(I) 依题
令 
，解得 
，
所以参数 θ 的矩估计为 
，其中 
。
(II)似然函数为
，
取对数，得
，
两边对 θ 求导，得
，
令 
，得 
，显然 
最大，所以 θ 的最大似然估计为 
。
解析：
本题主要考查了矩估计法以及最大似然估计法 的计算方法。
考点：最大似然估计法,矩估计法
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