设 f(x),g(x) 在 [0,1] 上的导数连续，且 f(0)=0,f′(x)≥0,g′(x)≥0，证明：对任意 a∈[0,1]，有。（本题满分8分）

【方法一】令 ，其中 x∈[0,1]，则 F(x) 在 [0,1] 上可导，且

F′(x)=g(x)f′(x)-f′(x)g(1)=f′(x)[g(x)-g(1)]，

由于当 x∈[0,1] 时，f′(x)≥0,g′(x)≥0，所以 F′(x)<0，即 F(x) 在 [0,1] 上单调减少，又因为 

因此，当 x∈[0,1] 时，F(x)≥0，由此可得对任何 a∈[0,1]，有

。

【方法二】

又由 f(0)=0,f′(x)≥0,g′(x)≥0，则

，

则

。