试题要求:
某企业为生产甲、乙两种型号的产品投入的固定成本为10000(万元)。设该企业生产甲、乙两种产品的产量分别是 x(件)和 y(件),且这两种产品的边际成本分别为(万元/件)与6+y(万元/件)。
(I)求生产甲、乙两种产品的总成本函数C(x,y)(万元);
(II)当总产量为50件时,甲、乙两种产品的产量各为多少时可使总成本最小?求最小成本;
(III)求总产量为50件且总成本最小时甲产品的边际成本,并解释经济意义。(本题满分10分)
试题来源:2012年考研《数学三》真题及答案解析
试题解析:
答案:
(I)总成本函数(万元);
(II)由题意知,求C(x,y)在x+y=50时的最小值,构造拉格朗日函数
F(x,y,λ)=C(x,y)+λ(x+y-50)
=
解方程组得x=24,y=26。
因可能极值点唯一,且实际问题存在最小值,故总产量为50件时,甲乙两种产品的产量分别是24,26时可使总成本最小,且此时投入总费用
(万元)
(III)甲产品的边际成本函数:,于是,当总产量为50件且总成本最小时甲产品的边际成本
。
其经济意义为:当甲乙两种产品的产量分别是24,26时,若甲的产量每增加一件,则总成本增加32万元。
解析:
本题主要考查了函数的最大值与最小值在实际问题中的运用。
考点:函数的最大值与最小值