试题要求：
设三阶实对称矩阵 
的各行元素之和均为3，向量 α1=(-1,2,-1)T，α2=(0,-1,1)T 是线性方程组 
的两个解。
(I) 求 的特征值与特征向量；
(II) 求正交矩阵 
和对角矩阵 
，使得 
；（本题满分9分）
试题来源：2006年考研《数学一》真题及答案解析
试题解析：
答案：
(I) 因为矩阵 的各行元素之和均为3, 即有 
，所以3是矩阵 的特征值，α1=(1,1,1)T 是 属于3的特征向量。
又 
，故α1,α2 是矩阵 属于 λ=0 的两个线性无关的特征向量。因此矩阵 的特征值是 3,0,0。
λ=3 的特征向量为 k(1,1,1)T，其中 k≠0 为常数；
λ=0 的特征向量为 k1(-1,2,-1)T+k2(0,-1,1)T，其中 k1,k2 是不全为 0 的常数。
(II) 因为 α1,α2 不正交，故需要施密特正交化，
β1=α1=(-1,2,-1)T；
，
单位化 
，
那么令 
得 
解析：
本题主要考查了矩阵的特征值和特征向量的概念、性质等。
考点：矩阵的特征值和特征向量的概念、性质