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试题要求:

证明 n 阶矩阵   相似。(本题满分11分)

试题解析:
答案:

设    

因为

 

 

所以有相同的特征值λ1=n,λ2=0(n-1重)。

由于为实对称矩阵,所以相似于对角矩阵 

因为,所以  对应于特征值λ2=0 有n-1个线性无关的特征向量,于是也相似于

故  与 相似。

解析:

本题主要考查了相似变换、相似矩阵的概念及性质。考生要理解矩阵相似的概念以及条件,学会通过特征值的方法求得矩阵的特征向量,进而求得其相似对角阵和使得对角化时的可逆矩阵,实现相似变换。

考点:相似变换、相似矩阵的概念和性质