试题要求:
证明 n 阶矩阵 与 相似。(本题满分11分)
试题来源:2014年考研《数学一》真题及答案解析
试题解析:
答案:
设
因为
,
,
所以与有相同的特征值λ1=n,λ2=0(n-1重)。
由于为实对称矩阵,所以相似于对角矩阵
因为,所以 对应于特征值λ2=0 有n-1个线性无关的特征向量,于是也相似于。
故 与 相似。
解析:
本题主要考查了相似变换、相似矩阵的概念及性质。考生要理解矩阵相似的概念以及条件,学会通过特征值的方法求得矩阵的特征向量,进而求得其相似对角阵和使得对角化时的可逆矩阵,实现相似变换。
考点:相似变换、相似矩阵的概念和性质